Симметрии, законы сохранения и точные решения одномерной системы уравнений мелкой воды над неровным дном

Проведена классификация симметрий одномерной системы уравнений мелкой воды над неровным дном в эйлеровых переменных. На основе результатов полученной классификации сделан вывод о возможности сведения одномерной системы уравнений мелкой воды к линейной системе уравнений с помощью точечных преобразований только в случаях горизонтального и наклонного профилей дна. Также проведена классификация контактных симметрий одномерного уравнения мелкой воды над неровным дном в лагранжевых переменных.
Проведена классификация гидродинамических законов сохранения одномерной системы уравнений мелкой воды в эйлеровых переменных. Получен новый базовый закон сохранения. Проведена классификация законов сохранения первого порядка одномерного уравнения мелкой воды в лагранжевых переменных.
Получено и исследовано трехпараметрическое семейство точных решений одномерной системы уравнений мелкой воды над наклонным дном, описывающее набег волны типа ”ступеньки” на берег и отражение от него. Описаны нелинейный эффект заплеска и эффект усиления набегающей волны при отражении ее от берега.
1. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М.: Государственное издательство иностранной литературы. 1959.
2. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.
3. Aksenov A.V., Druzhkov K.P. Conservation laws and symmetries of the shallow water system above rough bottom // Journal of Physics: Conference Series. 2016. V. 722. Pp. 1–7.
4. Aksenov A.V., Druzhkov K.P. Conservation laws of the equation of one-dimensional shallow water over uneven bottom in Lagrange’s variables // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2020. V. 119. 103348. Pp. 1–8.
5. Аксенов А.В., Доброхотов С.Ю., Дружков К.П. Точные решения типа “ступеньки” одномерных уравнений мелкой воды над наклонным дном // Математические заметки. 2018. Т. 104. №. 6. C. 930–936.