Гармонический анализ на сферических однородных пространствах с разрешимым стабилизатором (совместная работа с Н. Горфинкель)

Пусть $G$ — связная полупростая алгебраическая группа, $H$ — её связная замкнутая подгруппа. Одной из задач гармонического анализа на однородном пространстве $G/H$ является вычисление спектров представлений группы $G$ в пространствах регулярных сечений однородных линейных расслоений над $G/H$, в том числе в пространстве регулярных функций на $G/H$. Спектры этих представлений характеризует так называемая расширенная полугруппа старших весов. Эта полугруппа состоит из пар $(\lambda,\chi)$, где $\lambda$ — доминантный вес группы $G$, $\chi$ — характер группы $H$, для которых пространство $V_\chi$ регулярных сечений однородного линейного расслоения над $G/H$, отвечающего характеру $-\chi$, содержит неприводимый $G$-модуль со старшим весом $\lambda$.
Теперь пусть $H$ — сферическая подгруппа. Согласно результату Э. Б. Винберга и Б. Н. Кимельфельда (1978 г.) это равносильно условию, что для всякого характера $\chi$ группы $H$ представление группы $G$ в пространстве $V_\chi$ имеет простой спектр, т.е. всякий неприводимый $G$-модуль содержится в этом пространстве с кратностью не выше 1. Отсюда следует, что в случае сферической подгруппы $H$ расширенная полугруппа старших весов однозначно определяет структуру $G$-модуля в каждом из пространств $V_\chi$.
В докладе будут вычислены расширенные полугруппы старших весов для однородных пространств $G/H$, где группа $G$ односвязна, а подгруппа $H$ разрешима и сферична. Вычисления опираются на структурную теорию связных разрешимых сферических подгрупп, построенную в недавней работе докладчика.