Теплицевы операторы в пространствах Бергмана

Доклад рассчитан на широкую аудиторию, не обязательно состоящую из экспертов в теории Теплицевых операторов, и представляет собой обзор результатов последнего десятилетия по описанию алгебр порожденных Теплицевыми операторами, с символами из различных специальных классов, и действующих в стандартных весовых пространствах Бергмана на единичном шаре.
Мы начнем с до некоторой степени удивительного и непредсказуемого результата о существовании большого класса неизоморфных коммутативных $С^*$-алгебр, порожденных Теплицевыми операторами. Как оказалось их символы должны быть инвариантны относительно действия максимальных Абелевых подгрупп биголоморфизмов единичного шара.
Следующим сюрпризом было обнаружение большого числа Банаховых (не $С^*$) алгебр, оказавшихся, как правило, не полупростыми. Здесь задача состоит в нахождении компакта максимальных идеалов и в описании радикала. В заключении мы рассмотрим некоммутативные $С^*$-алгебры, порожденные Теплицевыми операторами, символы которых инвариантны относительно действия подгруппы некоторой максимальной Абелевой группы биголоморфизмов. Как оказалось различные варианты действия одной и той же подгруппы приводят к совершенно различным по свойствам алгебрам операторов.