Теорема сумм-произведений и новый подход к использованию совместных аддитивных энергий

Недавно в [1] Руднев и Стивенс улучшили малую константу $c$ в неравенстве $\max \{ |A+A|, |AA| \} \gg |A|^{\frac{4}{3}+c-o(1)}$. Доклад будет посвящён обзору этой работы, основа которой — новый метод использования оценок на $E(A,D)$ с произвольным $D$ для оценки $E(A)$.
Первый нацеленный на это же операторный метод Шкредова из [2] позволял получить оценку
$$ E(A)^6 \lesssim |A|^6 E_3(A) \Delta^3 \cdot \max \{ \Delta \tau E(A, D_{\Delta}) \ , \ \tau^2 E(A, D_{\Delta})^{1/2} E(A, D_{\tau})^{1/2} \} \ , $$
где $D_{\Delta}$, $D_{\tau}$ — множества популярных разностей и $E(A) \lesssim |D_\Delta| \Delta^2$, за счёт рассмотрения "сцеплённых" представлений $d_1=x-y, d_2=x-z,\ x,y,z \in A$.
Развивая эту идею, авторы получают (формула (25)) неравенство
$$ |B|^2 |D_\Delta| \Delta \lesssim |B+B|^{1/2} E_3(B)^{1/2} E_{3/2}(B, D_{\Delta})^{1/3} E_3(B, B+B)^{1/6} $$
для некоторого $B \subset A,\ |B| \gg |A|$. Из-за наличия $|B+B|$ в правой части, оно не годится для оценки энергии, но, объединяясь с $|B+B| E(B) \ge |B|^4$, даёт хороший результат для сумм.
[1] M. Rudnev, S. Stevens, "An update on the sum-product problem", arXiv:2005.11145.
[2] И. Д. Шкредов, "Несколько новых результатов о старших энергиях", Труды Московского математического общества. — 2013. — Т. 74, вып. 1. — С. 35—73.
Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число p+44, а последние три цифры-число q+63, где p,q-наибольшая пара близнецов, меньших 1000.