Классы Харди – Смирнова решений системы Ламе

По аналогии со случаем гармонических функций для решений $u = (u1, u2)$ системы Ламе плоской анизотропной теории упругости в области $D$ с ляпуновской границей $\Gamma$ вводится класс Харди– Смирнова $Hp(D)$, $1 < p < \infty$. Подобный класс определяется и для вектор-функций $v$, сопряженных к решениям этой системы, частные производные которых с точностью до знака представляют собой столбцы тензора напряжений. Описываются граничные свойства функций $u$, $v$ из этих классов и дается их представление [1] в рамках так называемых обобщенных потенциалов двойного слоя. С помощью этих представлений первая и вторая краевые задачи для системы Ламе редуцируются к эквивалентным системам интегральных уравнений Фредгольма в пространстве $Lp(\Gamma)$. Как следствие, отсюда получается разрешимость этих уравнений в классе $C(\Gamma)$ и, соответственно, разрешимость рассматриваемых краевых задач в классе $C(D$). Хорошо известны различные подходы к решению этих задач (см., например, [2-7]), использующие как априорные оценки, так и методы теории функций и теории потенциала. Последние, как правило, приводят к системам сингулярных интегральных уравнений на границе, что исключает их разрешимость в классе $C(\Gamma)$.