Поля Янга-Миллса и гармонические отображения

Рассматривается связь между полями Янга–Миллса и гармоническими отображениями. Более конкретно, речь идет о полях Янга–Миллса с калибровочной группой $G=\text{U}(n)$ на 4-мерной сфере $S^4$ и гармонических отображениях римановой сферы $S^2$ в пространство петель $\Omega G=\Omega\text{U}(n)$. Гипотеза о гармонических сферах утверждает, что должно существовать взаимно-однозначное соответствие между пространством модулей $G$-полей Янга–Миллса на $S^4$ и пространством центрированных гармонических сфер в $G=\text{U}(n)$. Пользуясь физической терминологией, указанную гипотезу можно переформулировать как существование соответствия между калибровочными полями Янга–Миллса и бесконечномерными киральными полями.
Джарвис и Норбюри предложили параметризацию 4-мерной сферы с выброшенной окружностью, при которой $S^4\setminus S^1$ совпадает с произведением римановой сферы и круга. Пользуясь этой параметризацией, они сопоставили связности в расслоении $E\to S^4$ риманову сферу в пространстве $\Omega\text{U}(n)$. Более того, если исходная связность анти-автодуальна (т.е. является инстантоном), то отвечающая ей риманова сфера в $\Omega\text{U}(n)$ голоморфна. По-видимому верно (хотя пока не доказано), что для связности Янга–Миллса эта риманова сфера является гармонической. Если последнее утверждение будет доказано, мы получим отображение, сопоставляющее связности Янга–Миллса гармоническую сферу в $\Omega\text{U}(n)$. Обратное отображение (от гармонических сфер к полям Янга–Миллса) скорее всего потребует исследования адиабатического предела в уравнениях Янга–Миллса на $S^4$.