Множества, разность которых избегает квадратов

Пусть подмножество $A$ кольца вычетов по модулю $m$ обладает тем свойством, что его разность $A-A$ не содержит ненулевых квадратичных вычетов; естественно ожидать, что размер такого множества $А$ мал. Тем не менее, до недавних пор в этой задаче была известна лишь корневая оценка $|A| \le m^{1/2+o(1)}.$ Мы доказываем оценку $|A|=o(m^{1/2})$ для почти всех $m.$ Доказательство существенно использует следующий факт о распределении "средних" простых делителей "стандартных" чисел. Пусть $T_1,...,T_m$ – не пересекающиеся множества простых чисел в интервале $[y, z] \subset [2,x],$ где $y\to\infty$ и $\log x/\log z \to \infty,$ и $\omega(n,T)$ – количество простых делителей числа $n\leq x$ во множестве $T;$ тогда величины $\omega(n,T_j), j=1,...,m,$ распределены как независимые пуассоновские случайные величины с параметрами $H(T_j)=\sum_{p\in T_j}p^{-1}.$ Идентификатор конференции: 833 9032 2946