Многообразия углов кусочно-полиномиальных функций и тропические многообразия с полиномиальными весами

Вычисляя эйлерову характеристику дискриминанта квадратного уравнения в терминах многогранников Ньютона двумя способами, Г. Гусев заметил неожиданное соотношение между смешанными объемами двух многогранников и выпуклой оболочки их объединения. Мы доказываем это соотношение элементарными методами, выводя его из следующего факта, замеченного А. Г. Хованским: смешанный объем многогранников зависит только от произведения их опорных функций. Эта зависимость — частный случай изоморфизма между двумя известными комбинаторными моделями когомологий торических многообразий. Мы предлагаем новое описание этого изоморфизма, основанное на представляющих самостоятельный интерес понятиях тропических многообразий с полиномиальными весами и их многообразий углов.