Поточечное адаптивное оценивание в модели регрессии с неоднородным шумом

Настоящий доклад посвящен адаптивному оцениванию выбором из заданного семейства оценок по методу Лепского.
В условиях непараметрического оценивания, в частности, при применении минимаксного критерия качества оценивания, как сама оценка, так и асимптотическое поведение минимаксного риска относительно выбранной функции потерь напрямую зависят от предположений о принадлежности оцениваемой функции к определенному классу гладкости либо от иных предположений в зависимости от рассматриваемой задачи и статистической модели. Такая априорная информация на практике обычно недоступна. Более того оценка, оптимальная в минимаксном смысле относительно одного класса, уже не является таковой, если оцениваемая функция принадлежит классу с другими значениями параметров.
Возникает вопрос о возможности построения на основе имеющихся наблюдений адаптивных, то есть не зависящих от значений параметров функционального класса оценок, оптимальных в каком-то смысле, например, относительно минимаксного критерия. Первая работа по адаптации датируется 84 годом и принадлежит М. С. Пинскеру и С. Ю. Ефроймовичу. В ней показано, что для задачи глобального оценивания в модели гауссовского белого шума, точнее, для оценивания коэффициентов разложения в ряд Фурье, относительно квадратичной функции потерь оптимально-адаптивное оценивание по шкале соболевских эллипсоидов в $l_2$ возможно. То есть получаемая оценка является минимаксной одновременно на всех эллипсоидах, причем с точностью до константы.
Однако, как было показано в 90-м году О. В. Лепским, оптимально-адаптивные оценки возможно построить не всегда. В частности, при оценивании значения сигнала в точке происходит логарифмическая потеря точности и такая потеря неустранима.
Первая часть доклада будет посвящена введению в адаптивное оценивание. Во второй части будут представлены недавние результаты, касающиеся поточечного оценивания в модели гауссовской регрессии с неоднородным шумом, параметры которого известны не полностью.