Композиция колчанов с соотношениями и композиция ассоциативных алгебр по двум гомоморфизмам

Как известно, группа Гротендика K_0 является инвариантом производной категории. Из вложения Pic X \to K_0 следует, что глобальная размерность категории когерентных пучков на проективных многообразиях с группой Гротендика Z^n не превосходит n-1. Совершенно иначе дело обстоит в ситуации категории конечномерных представлений колчанов с соотношениями. Здесь группа Гротендика – это всегда Z^n (n – число вершин), а глобальная размерность уже при n=2 может быть произвольной. С точки зрения производной эквивалентности это – два совершенно разных мира, в пересечении которых лежат когерентные пучки на многообразиях Фано с полными исключительными наборами. Они производно эквивалентны алгебрам ациклических колчанов соотношениями (наследственным алгебрам). В последнее время появляются всё новые примеры категорий, производно эквивалентных представлениям колчанов с соотношениями (в том числе связанные с теорией деформаций и геометрией многообразий Калаби-Яу, что актуально для теории поля). Как правило, соответствующие алгебры или наследственные, или принадлежат более широкому классу квазинаследственных алгебр. Глобальная размерность таких алгебр не превосходит 2n-2, а категории конечномерных модулей над ними порождены исключительным набором (обратное неверно, есть пример трёхвершинной алгебры с полным исключительным набором, не являющейся квазинаследственной).
Композиция колчанов с соотношениями была придумана мной в середине 90-х (с участием А.И. Бондала как научного руководителя) как средство для изучения алгебр колчанов с соотношениями произвольной конечной гомологической размерности. В 1999 году мы получили обобщение этой конструкции- композицию ассоциативных алгебр по двум гомоморфизмам. Эта математически красивая конструкция до сих пор не известна в широких математических кругах и не нашла своего применения. Я собираюсь рассказать про обе композиции и связанные с ними конструкции. В качестве примера будет рассмотрена двухвершинных так называемые фибоначчиевых алгебр. k-я фибоначчиева алгебра имеет размерность F_{k+3} и глобальную размерность k. Предположительно это алгебры наименьшей возможной размерности с числом вершин 2 гомологической размерности k.