О модулярной гипотезе Зарембы

Гипотеза Зарембы из теории цепных дробей утверждает, что для всякого простого $p$ найдётся $a<p$ так, что в разложении в конечную цепную дробь рационального числа $a/p$ все его неполные частные ограничены пятеркой. Мы докажем модулярную форму этого предположения: существует абсолютная константа $M$ и константа $0<c<1$ такие, что для любого простого $p,$ найдётся $q,$ делящееся на $p,$ $q=O(p^{2-c})$ так, что для некоторого $a<q, (a,q)=1$ в разложении в конечную цепную дробь числа $a/q$ все неполные частные ограничены M. Эта теорема усиливает один результат Хенсли (и его последователей), который, в свою очередь, предположил более сильную гипотезу о некоторых канторовских множествах хаусдорфовой размерности $>1/2$ из которой вытекала бы гипотеза Зарембы. Во втором нашем основном результате мы показываем, что модулярная гипотеза Хенсли имеет место.