Дифференциальные операторы с сингулярными коэффициентами

Мы начнем с постановки следующих задач. Для какого максимально широкого класса функций $q$ (или распределений) можно корректно определить оператор
$$A=-\frac{d^2}{dx^2}+q(x)$$
в пространстве $L_2(a,b)$, $(a,b)\subseteq \mathbb{R}$?
Тот же вопрос ставится для оператора
$$A=-\Delta+q(x)$$
в пространстве $L_2(\Omega)$, $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$, $n\geq 2$.
Пути решения задачи в первом (одномерном случае) предложили М.Г.Крейн и Ф.Аткинсон в 50-е и 60-е годы, а в 90-е годы эти исследования были ренианимированы в книге 4-х авторов: S. Albaverio, F. Gesztezy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden. С решением второй (многомерной) задачи связаны работы 60-х годов Ф.А.Березина, Р.А.Минлоса и Л.Д.Фаддеева.
В начале нулевых годов автором (в соавторстве со студентами) были предложены несколько подходов к решению указанных задач и более общих. В предстоящем докладе будет пояснено существо дела в этих подходах, пояснена их взаимосвязь, а также будет рассказано о новых недавних результатах, посвященных проблеме корректного определения дифференциальных операторов высших порядков с коэффициентами-распределениями.