Метрическое описание изгибаемых октаэдров

В метрической теории многогранников, развитие которой получило новый мощный импульс с доказательством в середине 1990-х годов И.Х.Сабитовым гипотезы кузнечных мехов, одно из центральных мест занимают изгибаемые многогранники. Самыми простыми нетривиально изгибаемыми многогранниками являются октаэдры Брикара.
Описание изгибаемых октаэдров у самого Брикара сводится к набору условий на некоторые углы (плоские углы граней, а также углы, получаемые в ходе определенных дополнительных построений). Однако, множество результатов метрической геометрии, включая теорему Сабитова о многочлене для объема многогранника, получено с использованием условий, заданных в терминах расстояний (длин ребер и диагоналей).
Перевод на этот "язык" условий Брикара возможен, но дальнейшая работа с найденными сложными уравнениями затруднительна. Вместо этого мы, не пользуясь результатами Брикара, находим новое описание всевозможных изгибаемых октаэдров, сразу в удобной метрической записи, попутно получив условия приводимости многочлена Кэли-Менгера, представляющие также и самостоятельный интерес.
Известен способ вычисления канонического (имеющего минимальную степень) многочлена для объема октаэдра с произвольными длинами ребер. Для октаэдров Брикара 1-го и 2-го типа этот многочлен был вычислен еще в 1995 году. А относительно октаэдра 3-го типа существовала лишь высказанная И.Х.Сабитовым (и подкрепленная вычислениями для октаэдров с конкретными численными значениями длин ребер) гипотеза о том, что многочлен в этом случае имеет вид $Q(V)=V^8$. Использование найденного метрического описания изгибаемых октаэдров позволяет нам высказать утверждение о справедливости этой гипотезы.