Аппроксимация операторных полугрупп, порожденных марковскими процессами, с помощью теоремы Чернова

В докладе будет представлен метод аппроксимации эволюционных полугрупп, порождённых марковскими процессами (а, следовательно, и метод аппроксимации переходных вероятностей этих процессов). Рассматриваемый метод основан на применении теоремы Чернова. В некоторых случаях, полученные черновские аппроксимации соответсвуют марковским цепям, аппроксимирующим данные процессы (в том числе, схемам Эйлера-Маруямы для решения соответствующих стохастических дифференциальных уравнений). В некоторых случаях, черновские аппроксимации имеют форму предела n кратных интегралов от элементарных функций при стремлении n к бесконечности (такие аппроксимации называются формулами Фейнмана) и могут быть использованы для непосредственных вычислений и моделирования марковских процессов. Пределы в формулах Фейнмана часто совпадают с функциональными интегралами по траекториям, где интегрирование производится по вероятностной мере (такие интегралы обычно называются формулами Фейнмана-Каца). Таким образом, формулы Фейнмана могут быть использованы для получения новых формул Фейнмана-Каца, для аппроксимации функциональных интегралов и для установления взаимосвязей между различными функциональными интегралами. В настоящем докладе будут обсуждаться черновские аппроксимации для полугрупп, порожденных феллеровскими процессами в $\mathbb R^d$, а также методы построения черновских аппроксимаций для полугрупп, соответствующих процессам, полученным из исходных марковских процессов с помощью различных операций. Будут рассмотрены такие операции как случайная замена времени (полученная с помощью аддитивного функционала от процесса), субординация процесса, аддитивные и мультипликативные возмущения генератора процесса, рассмотрение процесса в области с заданным поведением на границе области (добавление краевых условий к генератору процесса). Эти результаты позволяют строить черновские аппроксимации, например, для субординированных диффузий на звездчатых графах и компактных римановых многообразиях. Кроме того, полученные черновские аппроксимации могут быть далее использованы для построения аппроксимаций решений некоторых эволюционных уравнений с дробными производными по времени; а значит, и для аппроксимации функций плотности вероятности соответствующих немарковских процессов.