Об одном приложении аддитивной комбинаторики к теории динамических систем

Пусть $(X,\mathcal{B}, \mu, T )$ — динамическая система и $A$ —произвольное измеримое множество положительной меры. Рассмотрим множество возвращений множества $A$ в себя: $R_A = \{ n ~:~ \mu(A\cap T^{-n} A) > 0\}.$ Легко видеть, что нижняя плотность $d(R_A)$ не меньше, чем $\mu (A).$ Что можно сказать о динамических системах с $d(R_a) < (1+c) \mu (A)?$ Мы показываем, что для $c\le 1/2$ эргодическое отображение $T$ обязательно будет периодическим и получим аналогичный результат для тотально эргодического $T$ с $c \le 1.$ Оба результата точны и от условия эргодичности в общем случае избавиться нельзя. Доказательство использует классическую теорему Кнезера из аддитивной комбинаторики и устанавливает еще одну связь между комбинаторной эргодической теорией и комбинаторикой.