Об интегрируемости геодезических потоков на трехмерных многообразиях

Цель доклада — рассказать о поведении геодезических на трехмерных многообразиях $M$ с $SL(2,\mathbb R)$ геометрией, одной из 8 естественных геометрий по Терстону, возникающих на трехмерных многообразиях. Было известно, что интегрируемыми соответствующие геодезические потоки быть не могут, однако до конца этот случай исследованным не был. Ответ оказался довольно интересным: мы обнаружили (совм. работа с А.П.Веселовым и Yiru Ye), что соответствующее фазовое пространство $T^*M$ содержит два дополнительных открытых подмножества с интегрируемым и хаотическим поведением геодезических. В интегрируемой области имеется интегрируемость в классе аналитических интегралов, тогда как в хаотической области нет даже гладкой интегрируемости, и геодезический поток имеет положительную топологическую энтропию. В качестве конкретного примера в деталях рассмотрен геодезический поток на модулярном 3-многообразии $M=SL(2, {\mathbb R})/ SL(2,\mathbb Z)$, гомеоморфном дополнению к трилистнику в трехмерной сфере. Об этих результатах я постараюсь рассказать в контексте общей проблемы топологических препятствий к интегрируемости геодезических потоков на гладких многообразиях, следуя работам В. В. Козлова, И. А. Тайманова, Г. Патернайна и Л. Батлера.