Обобщенные группы кос, инварианты динамических систем и проблема равенства

Диаграмму одномерной косы на плоскости можно рассматривать, как динамику набора точек, причем перекресткам косы соответствуют моменты, когда две точки совпадают. Естественной идеей (отчасти инспирированной изучением три- и квадрисекант узлов) оказывается рассмотрение динамик наборов точек (не обязательно на плоскости), сингулярные моменты которых характеризуются некоторой конфигурацией не двух, но большего числа точек. Этот подход привел к построению групп обобщенных кос, предложенных В.О. Мантуровым и получивших название групп $G_n^k$. Оказалось, что выполняется следующий общий принцип: если сингулярные моменты динамики набора из $n$ точек характеризуются выполнением достаточного хорошего свойства коразмерности 1, зависящего от $k$ точек, то такая динамика обладает инвариантами со значениями в группе $G_n^k$. Отдельный интерес представляет частный случай обобщенных групп кос, где свойство зависит от всех точек, кроме одной, - групп $G_{k+1}^k$. Всякий раз, когда речь заходит об инвариантах со значениями в группе, встает вопрос о проблеме равенства в этой группе: можно ли распознать два элемента группы алгоритмически. В докладе будет рассказано о недавно полученных совместно с А.Б. Карповым и В.О. Мантуровым результатах, дающих положительный ответ на этот вопрос для некоторых групп $G_{k+1}^k$, и затронут вопрос разрешимости проблемы равенства в общем случае.