Квантовые дифференциалы и пространства вещественнозначных функций

Одной из задач некоммутативной геометрии является перевод основных понятий анализа на язык банаховых алгебр. Этот перевод осуществляется с помощью процедуры квантования, устанавливающей соответствие между функциональными пространствами и алгебрами операторов в гильбертовом пространстве $H$. Дифференциал $df$ функции $f$ (в случае, когда он корректно определен) переходит при такой процедуре в коммутатор ее операторного образа с некоторым оператором симметрии $S$, являющимся самосопряженным оператором в $H$ с квадратом $S^2=I$. Образ $df$ под действием квантования называется квантовым дифференциалом $f$, который корректно определен даже для негладких функций $f$. Возникающее операторное исчисление называется квантовым. В докладе будет приведено несколько утверждений из этого исчисления, касающихся интерпретации идеалов Шэттена компактных операторов в гильбертовом пространстве в терминах пространств функций на окружности. Основное внимание уделяется случаю операторов Гильберта–Шмидта. Роль оператора симметрии $S$ играет в этом случае преобразование Гильберта. В случае пространств функций нескольких вещественных переменных оператор симметрии определяется через операторы Рисса и матрицы Дирака.