Контрпримеры к гипотезе Борсука на сфере

В 1933 году польский математик К. Борсук задался следующим вопросом: верно ли, что всякое множество $A \subset \mathbb R^d$ конечного диаметра можно разбить на части $A_1, \ldots, A_{d+1}$ строго меньшего диаметра? Иначе говоря, для всякого $A \subset \mathbb R^d$ введем величину $f(A)$
$$ f(A) = \min \{ f \colon A = A_1 \cup \ldots \cup A_f, \mathrm{diam}\,A_i < \mathrm{diam}\,A \}, $$
и определим число Борсука для пространства $\mathbb R^d$
$$ f(d) = \max\limits_{A \subset \mathbb R^d, \mathrm{diam}\,A = 1} f(A). $$
В таких терминах гипотеза Борсука примет вид $f(d) = d+1$. Долгие годы все, кто занимался данной проблемой, верили, что ответ на поставленный вопрос положителен. Неожиданным оказался результат Кана–Калаи 1993 года, опровергнувший гипотезу для $d = 2015$. На самом деле Кан и Калаи показали нечто большее: число Борсука $f(d)$ растет субэкспоненциально при $d\to\infty.$
В рамках доклада мы сделаем акцент на обобщении этой задачи: поговорим о случае, когда рассматриваются только множества, лежащие на сфере. В 2015 году А. М. Райгородский и А. Б. Купавский доказали, что числа Борсука для сферы в пространстве $\mathbb R^d$ растут субэкспоненциально с ростом $d$ и получили явные асимптотические оценки. В докладе поговорим о конструкциях контрпримеров к гипотезе Борсука на сфере, позволяющих улучшить эти оценки.