Асимптотический анализ ветвящихся блужданий с тяжелыми хвостами

Представленная работа является исследованием в области теории случайных процессов. Цель работы – асимптотический анализ как численностей частиц, так и их целочисленных моментов, а также анализ выживаемости популяции частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий на многомерных решетках. В рамках исследования на интенсивности случайного блуждания, лежащего в основе процесса, накладывается условие, приводящее к бесконечной дисперсии скачков случайного блуждания. Представленная работа значительно расширяет круг задач, решенных в теории случайных блужданий. Актуальность тематики подтверждается многочисленными исследованиям в области асимптотического анализа случайных блужданий с тяжелыми хвостами, достаточно привести в качестве примера монографию А.А. Боровкова и К.А. Боровкова (2008 г.) и библиографию в ней. В данном направлении важно было обобщить модели случайных блужданий, вводя в них гибель и деление частиц, т.е. перейти к ветвящимся случайным блужданиям, что позволило рассматривать задачи о пространственном распределении поля частиц. Отметим, что до недавнего времени ветвящиеся случайные блуждания рассматривались, как правило, в предположении конечной дисперсии скачков. В связи с этим, классификация поведения ветвящегося случайного блуждания с тяжелыми хвостами при больших временах оставалась важной и нерешенной задачей. Для решения этой задачи потребовалось доказать многомерный аналог известной леммы Ватсона, который затем применяется для получения локальной предельной теоремы о переходных вероятностях симметричного случайного блуждания по многомерным решеткам с бесконечной дисперсией скачков. Получена оценка скорости роста преобразования Фурье переходных интенсивностей, с помощью которой исследована возвратность случайного блуждания с тяжелыми хвостами в терминах функции Грина. Выявлена ненулевая критическая точка для интенсивности источника ветвления во всех целочисленных размерностях, при превышении которой наблюдается экспоненциальный рост численностей частиц. Завершена классификация асимптотического поведения моментов численностей частиц в каждой точке решетки и на всей решетке в зависимости от ее размерности и параметра, отвечающего за свойства блуждания. Исследована асимптотика вероятности вырождения популяции частиц на решетке. Изучено асимптотическое поведение первого момента численности популяции частиц в каждой точке решетки и численности субпопуляции, порожденной каждой из начальных частиц, в ветвящемся случайном блуждании с бесконечным числом начальных частиц.