Структурно устойчивые особенности и бифуркации интегрируемых систем

Интегрируемая система задается набором $F=(f_1,\dots,f_n)$ из $n$ функций в инволюции на $2n$-мерном симплектическом многообразии $M$. Рассмотрим соответствующее лагранжево слоение с особенностями (слоение Лиувилля) на многообразии $M$, слоями которого являются связные компоненты совместных множеств уровня этих функций. Рассмотрим пуассоново действие группы $R^n$ на $M$, порожденное функциями $f_1,\dots,f_n$. Локальная особенность (т.е. особая орбита) слоения называется структурно устойчивой, если топология слоения в окрестности этой особенности сохраняется при любых достаточно малых интегрируемых (вещественно-аналитических) возмущениях системы.
В докладе будет дано много примеров структурно устойчивых особенностей систем с 2 и 3 степенями свободы. Мы предполагаем, что система вещественно-аналитична, и ее особенности имеют конечный тип. В нашем списке содержатся невырожденные особенности (Vey 1978), гамильтонова бифуркация Хопфа (Meyer, Schmidt 1971), параболическая окружность (Лерман и Уманский, 1981, 1987), нормально-эллиптическая особенность (1993), параболические окружности с резонансами (Калашников 1998), гиперболическая гамильтонова бифуркация Хопфа (Лерман 2000) и много других. Мы дадим достаточные условия структурной устойчивости, опишем топологию слоения Лиувилля в окрестности структурно устойчивых особенностей. В частности, опишем локальные бифуркационные диаграммы и их общие перестройки для структурно устойчивых особенностей.
Отметим тесную связь между особенностями и бифуркациями. Если особая орбита имеет ранг $r$, то среди функций $f_1,\dots,f_n$ можно выбрать $r$ функций с линейно независимыми дифференциалами, а потому такие $r$ функций можно считать параметрами системы в окрестности данной орбиты. Таким образом, изучение данной особенности эквивалентно изучению особенностей интегрируемой системы с $n-r$ степенями свободы, зависящей от $r$ параметров, т.е. изучению бифуркаций особенностей таких систем.