Большие уклонения статистики Шеппа

В первой части доклада будет рассмотрена задача о больших уклонениях максимума $M_n$ случайного блуждания $S_k=\sum_{i=1}^k X_i$, чьи шаги $X_i$ обладают конечным математическим ожиданием и удовлетворяют правостороннему условию Крамера $Ee^{hX}<\infty$ при всех положительных $h$ меньше некоторого $h^+$. В этих условиях удается вычислить точную асимптотику вероятностей событий $\{max(S_k, k\leq n)\geq\theta n\}$ при $\theta>0$, $n\to\infty$ с помощью прямых вероятностных методов. В докладе будет показано, как на основе этой асимптотики удается получить предельные теоремы для статистик, связанных с большим уклонением максимума и условные функциональные теоремы для траекторий блуждания, подчиненных условию $M_n\geq\theta n$.
Во второй, основной, части доклада будет показано, как решение задачи о большом уклонении максимума помогает в изучении статистики Шеппа $W_{n,m}=\max_{i\leq n}\max_{j\leq m} (S_{j+i}-S_j)$. В докладе будут изложены методы получении асимптотики вероятности $P(W_{n,m}\geq\theta n)$ при $m,n\to\infty$, в явном виде будут выписаны фигурирующие в ней константы, будут обсуждены предельные теоремы для статистики Шеппа и условные функциональные предельные теоремы для участков блуждания, связанных с событием $W_{n,m}\geq\theta n$.