Свёртки выпуклых множеств при ограничениях на старшие производные

Для множеств $A=\{ f(i) : i \in [n] \}$, где $f$ - выпуклая функция, есть гипотеза, что $E(A) = |A|^{2+o(1)}$.
Долгое время наилучшей известной оценкой оставалась $E(A) \le |A|^{5/2}$ и оценка на свёртки $\sum \limits_{x \in X} (A * A)(x) \le |A| |X|^{2/3}$. Эти результаты были разными методами получены Конягиным и Гараевым. Конягин получил также обобщение $E(A,D) \le |A| |D|^{3/2}$ для произвольного множества $D$, с помощью которого впоследствии Шкредов улучшил оценку до $E(A) \ll |A|^{\frac{32}{13}+o(1)}$, получив лучший на сегодняшний день общий результат.
Потенциал применения результатов Конягина до сих пор до конца не раскрыт, в то время как метод Гараева, наоборот, даёт вполне ясный способ применения оценок на число решений уравнений специального вида, но использованные самим Гараевым оценки для этих уравнений очень далеки от гипотезы о возможностях их улучшения.
В докладе будут представлены доказательства новых оценок на число решений уравнений Гараева для выпуклых множеств, порождённых функцией $f$ с дополнительными условиями $f'''(x) \le 0$ или $f'''(x) < 0, f^{(IV)}(x) \le 0$ и, как следствие, получения для таких множеств оценок $E(A) \ll |A|^{12/5}$ или $E(A) \ll |A|^{7/3}$ и соответствующих оценок на свёртки.