Скромность отображений $S^1\to Y$

В прошлый раз мы определили гомотопическое свойство $r$-скромности непрерывного отображения топологических пространств. Гомотопические классы $(s-1)$-скромных петель $S^1\to Y$ образуют нормальную подгруппу $M^s$ фундаментальной группы $\pi_1(Y)$. Легко понять, что всегда выполнены включения
$$ \Gamma^s\subseteq M^s\subseteq D^s, $$
где $\Gamma^s$ — $s$-й член нижнего центрального ряда, а $D^s$ — $s$-я размерная подгруппа. Теперь мы доказываем равенство
$$ M^s=\Gamma^s. $$
Это подтверждает нашу гипотезу о связи скромности и фильтрации Кёртиса. Планируется обсудить также гипотезу о композиции и другие задачи о скромности.