Подалгебры Бете в янгиане и их вырождения

Янгиан $Y(\mathfrak g)$ редуктивной алгебры Ли $\mathfrak g$ — это квантовая группа, деформирующая универсальную обёртывающую алгебру $U(\mathfrak g[t])$ алгебры Ли $\mathfrak g[t]$ токов на прямой. Согласно централизаторной конструкции Ольшанского, янгиан $Y(\mathfrak{gl}_n)$ является стабильным пределом подалгебр $GL_N$-инвариантов в универсальной обёртывающей алгебре $U(\mathfrak{gl}_{N+n})$ и, таким образом, действует в пространствах кратностей разложения любого представления $\mathfrak{gl}_{N+n}$ относительно $\mathfrak{gl}_N$. Любому элементу присоединённой группы $G$, соответствующей алгебре Ли $\mathfrak g$, можно сопоставить большую коммутативную подалгебру в янгиане $Y(\mathfrak g)$, называемую подалгеброй Бете. Я расскажу о связи подалгебр Бете с подалгебрами сдвига аргумента в универсальной обёртывающей алгебре. Пользуясь этим, я опишу все вырождения подалгебр Бете в янгиане алгебры Ли $\mathfrak{gl}_n$ и сформулирую гипотезу, обобщающую это описание на простую алгебру Ли произвольного типа. Для каждого конечного представления янгиана решение задачи о диагонализации подалгебр Бете в этом представлении даёт накрытие над пространством параметров подалгебр Бете, гипотетически имеющее комбинаторное описание в терминах некоторых обобщений кристаллов Кашивары.