Фрактальное броуновское движение: задачи экстраполяции и точечной оценки

В докладе изучаются свойства и характеристики процесса фрактального броуновского движения, а также более широкого семейства случайных процессов - автомодельных процессов со стационарными приращениями. Процесс фрактального броуновского движения широко используется при построении моделей различных событий, эффектов и трендов, включая так называемые процессы с длительной памятью. Впервые упоминание модели с показателем Харста H появилось в работе британского климатолога Гарольда Харста, опубликованной в 1951 году, в которой он изучал поведение изменений стоков реки Нил. Впоследствии модифицированная модель фрактального броуновского движения нашла широкое применение в финансовых анализах различных показателей стабильности. В связи с этим исследуются две задачи: экстраполяция процесса на конечное количество шагов вперед, а также точечная оценка показателя Харста. В ходе решения были получены результаты для произвольных автомодельных процессов со стационарными приращениями (далее для простоты будем называть такие процессы фрактальными). Более детально:
• получено интегральное и спектральное представление произвольного фрактального процесса;
• выведен явный вид функционала линейной экстраполяции процесса на конечное количество шагов вперед, а также значение среднего квадрата ошибки экстраполяции;
• рассмотрены основные выборочные статистики, такие как выборочное среднее, выборочная автоковариация и автокорреляция. Доказаны их сходимости почти всюду, а также предельные распределения для каждого значения показателя Харста H;
• предложена точечная оценка показателя Харста, проведено ее сравнение с известными методами оценок неизвестных параметров распределений. Показано, что новая оценка обладает лучшими статистическими свойствами.
Итогом работы является полное решение задачи экстраполяции для фрактальных процессов, а также получение выражения для оценки показателя Харста фрактального броуновского движения.