Конструкции исключительных групп

Исключительные группы естественно возникают всюду, где играет роль классификация конечных простых групп, где встречаются неассоциативные алгебры или исключительные геометрии и т.д. Если ограничиться расщепимыми группами, то имеется несколько тесно связанных исключительных групп одного типа: группа Шевалле, ее элементарная подгруппа, группа Стейнберга... В случае поля связь этих групп хорошо понятна. В случае кольца соотношение между ними контролируется $\mathrm{К}$-функторами. Я постараюсь изложить два элементарных подхода к построению исключительных групп типов $\mathrm{E}_6$, $\mathrm{E}_7$, $\mathrm{E}_8$ и $\mathrm{F}_4$ — явное комбинаторное описание матричных образующих и представление изометриями кубических/биквадратных форм — доступные студенту 2 курса. Кроме того, я постараюсь упомянуть несколько других конструкций и уточнить связи между получающимися группами.