О топологии изоэнергетических поверхностей функций Морса

В гамильтоновой и небесной механике часто возникает задача подсчета топологии изоэнергетических поверхностей $H^{-1}(E)$, где функция $H$ — гамильтониан рассматриваемой системы. Мы будем предполагать, что гамильтониан $H$ является функцией Морса на фазовом пространстве и удовлетворяет специальному условию компактности. В этом случае, поверхности уровня $H = E$ имеют одну и ту же топологию в окрестности неособого уровня, и могут изменить свою топологию, когда энергия $E$ проходит через критическое значение.
В этом докладе мы обсудим следующий вопрос: при каких условиях топология $H = E$ всегда меняется при прохождении через особую поверхность уровня? Оказывается, ответ на этот вопрос не всегда положителен, даже если особый уровень имеет одну критическую точку. Мы сформулируем критерии, которые гарантируют изменение топологии неособых уровней $H = E$, и приведем несколько (контр-)примеров и приложений.
Доклад основан на совместной работе с A. Knauf (Эрланген).