Степень отображений между сферами в задачах справедливого деления

(совместно с Сергеем Аввакумовым)
Классический подход к задачам деления без зависти (envy-free division) часто сводится к рассмотрению отображения симплекса в себя и нахождения достаточных условий, когда образ отображения задевает центр симплекса. Например, в теореме Кнастера–Куратовского–Мазуркевича для обеспечения задевания используется некоторое граничное условие.
В данном докладе мы рассмотрим условие эквивариантности отображения на границе симплекса относительно перестановок координат, а также более слабое условие “псевдоэквивариантности”, которое имеет экономическую интерпретацию в задаче деления отрезка на части без зависти.
Оказывается, что такие версии задачи имеют положительное решение тогда, когда количество людей, на которых надо разделить отрезок или что-то ещё, является степенью простого. А когда количество людей не является степенью простого, то во многих случаях можно построить контрпримеры, в которых решения нет. Эти контрпримеры также проливают свет на бесполезность стандартного подхода configuration space / text map к разным задачам справедливого деления.