Характеризация обобщённых грассманианов в терминах многообразий минимальных рациональных касательных

В алгебраической геометрии (в частности, в программе минимальных моделей) важную роль играют многообразия Фано. Это проективные алгебраические многообразия, на которых старшая внешняя степень касательного расслоения обильна. Таковы, например, многообразия обобщённых флагов. Многообразия Фано близки к рациональным — в частности, на них имеется много рациональных кривых. Со времен пионерских работ Мори сложилось понимание того, что геометрия многообразий Фано во многом контролируется рациональными кривыми.
В 90-х годах прошлого века эта философия приобрела дифференциально-геометрический аспект в работах Хвана (J.-M. Hwang) и Мока (N. Mok) с соавторами. На многообразиях Фано с числом Пикара 1 можно рассматривать рациональные кривые минимальной степени и определить многообразие минимальных рациональных касательных (variety of minimal rational tangents, VMRT) в точке общего положения как совокупность касательных направлений к таким кривым, проходящим через данную точку. Это подмногообразие в проективизации касательного пространства является проективным дифференциально-геометрическим инвариантом многообразия Фано. Как оказалось, VMRT во многом определяет геометрию исходного многообразия.
В частности, Хван и Мок предложили программу характеризации обобщённых грассманианов (т.е. факторпространств простых алгебраических групп по максимальным параболическим подгруппам) в классе многообразий Фано с числом Пикара 1 по VMRT. Недавно эту программу удалось завершить (J.-M. Hwang, Q. Li и докладчик). Доказательство основного результата интересно тем, что сочетает методы как "чистой" алгебраической геометрии, так и дифференциальной геометрии, а также структурную технику полупростых алгебр Ли, теорию алгебраических групп преобразований и сферических многообразий. Есть перспектива применения разработанных методов к изучению геометрии других многообразий Фано, наделённых (почти) транзитивным действием линейной алгебраической группы. Я расскажу о схеме и основных идеях доказательства.