Алгебро-геометрические спектральные данные коммутирующих операторов и их изоспектральных деформаций

В докладе речь пойдет о задаче классификации колец коммутирующих дифференциальных или дифференциально-разностных операторов от нескольких переменных. Такие кольца удобно рассматривать как подкольца в некотором "универсуме" — чисто алгебраическом аналоге кольца псевдодифференциальных операторов на многообразии, поскольку оно содержит все известные примеры таких колец, а также их изоспектральные деформации. Если ограничиться рассмотрением разумного класса колец (мы их называем квази-эллиптическими), то они допускают классификацию в терминах алгебро-геометрических спектральных данных. Эта классификация является естественным обобщением классификации колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных или разностных операторов, описанной в работах Кричевера, Новикова и Мамфорда. Уже в случае двух переменных появляются значительные ограничения на геометрию спектральных данных, в связи с чем возникает вопрос их классификации. Я расскажу о недавних результатах в этом направлении, в частности, о полученных явных примерах спектральных данных и деформаций известных колец коммутирующих операторов. Доклад основан на совместных работах с И. Бурбаном, В.С. Куликовым, Х. Курке и Д. Осиповым.