Полная симметрическая система Тоды на группах и теория представлений

Полная симметрическая система Тоды — это довольно прямолинейное обобщение обыкновенной ("трехдиагональной") системы Тоды на случай, когда фазовое пространство представляет из себя множество произвольных симметрических матриц (более общо, можно определить подобные системы, связанные с разложением Картана вещественной алгебры Ли). Несколько неожиданно оказывается, что эта система (число степеней свободы в которой пропорционально квадрату размера матриц) является интегрируемой; известные системы интегралов в инволюции (получаемые процедурой "чоппинга" и некоторыми другими) выглядят довольно неожиданными и странными. Я расскажу о недавних результатах, в которых мы даем описание системы векторных полей, коммутирующих с векторным полем системы Тоды; наше описание довольно геометрично и основано на структуре представлений данной алгебры Ли. Кроме того, если хватит времени я расскажу про связь между полной системой Тоды и структурой порядка Брюа на группах Вейля.