Внутренние множители аналитических функций переменной гладкости

Пусть $p(z)$ — положительная функция, заданная на единичной окружности $T$, удовлетворяющая условию $|p(z)-p(w)|\leq c_0/\log(e/|z-w|)$, $p=\min p(z)$. Пусть $0<a<1$, $p>1/a$, $r\geq 0$ – целое. Определим класс $H^{p(.)}_{(r+a)}$ аналитических в единичном круге функций $f$ условием:
$$\sup_{0<|t|<\pi} \int_T(|f^{(r)}(ze^{it})-f^{(r)}(z)|/|t|^a)^{p(z)}|dz|<\infty.$$
Тогда если $I$ – внутренняя функция, $f/I$ лежит в $H^1$, то $f/I$ лежит в $H^{p(.)}_{(r+a)}$. Если при этом кратность нулей функции $I$ не менее $r+1$, то $fI$ лежит в $H^{p(.)}_{(r+a)}$.