Пространства Соболева и пространства гладких функций на гильбертовом пространстве с трансляционно-инвариантной мерой

С помощью введенной на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве трансляционно-инвариантной конечно аддитивной меры определяется пространство Лебега квадратично интегрируемых по этой мере функций. Математические ожидания операторов сдвига на случайные векторы, имеющие гауссовские распределения, позволяют определить диффузионную полугруппу самосопряженных сжатий, самосопряженный генератор которой изучается как обобщение оператора Лапласа на пространстве функций бесконечномерного аргумента. Пространства гладких функций определяются как образ пространства Лебега под действием операторов диффузионной полугруппы. Показано, что гладкие функции имеют производные любого порядка по направлениям собственных векторов ковариационного оператора гауссовского распределения; что областью определения оператора Лапласа и его степеней являются аналоги пространств Соболева. Исследованы вложения пространства гладких функций в пространства Соболева и плотность такого вложения. Исследовано существование следов на гиперплоскостях у функций из пространств Соболева и выполнение аналога теоремы Остроградского-Гаусса.