Инварианты комплексов Морса, персистентные гомологии, и анализ данных

Критические значения гладкой функции на компактном многообразии естественно разбиваются на пары «birth-death», как это было показано в работе докладчика 1994 года. Это инвариантное разбиение возникает в результате приведения комплекса Морса, определяемого градиентными кривыми функции, к «канонической форме» при помощи линейного преобразования уважающего фильтрацию, задаваемую порядком критических значений. Эта «каноническая форма» является комбинаторным инвариантом фильтрованного комплекса. Начиная с 2000-х годов эти инварианты получили широкое использование в прикладной математике под именем «Persistence diagrams» и «Persistence Bar-codes». В настоящее время в мире более 400 человек занимаются приложениями этих инвариантов в самых разных областях от медицины и биологии до искусственных нейросетей. Доклад посвящён обзору этих инвариантов и их приложений в математике и анализе данных.