О явлениях, по-видимому, невозможных

Будет рассказано о нескольких разнородных вопросах геометрического характера, возникших из кинематики и статики на плоскости, ответы на которые кажутся отрицательными. Однако, доказательства автору известны лишь в частных случаях. Первый вопрос возник из следующей задачи (Л.А.Люстерник, А.Н.Колмогоров): существует ли отличная от круга фигура (каток), которую можно провернуть на целый оборот с сохранением прилегания к сторонам заданного угла и к заданной точке? Известны невыпуклые катки. Попытки найти выпуклый каток привели к следующему вопросу. Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две непрерывные возрастающие функции, определенные на $[0, +\infty)$. Допустим $f(0)=g(0)=0$, и $f(x) > g(x)$ при $x>0$. Проведем вертикальную прямую $x=x_0$, и через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_0, g(x_0))$ две горизонтальные прямые. Эти прямые вместе с графиками функций вырезают из плоскости два криволинейных треугольника площадей $S_l(x_0)$ и $S_r(x_0)$. Существует ли такая пара функций, для которой бы неравенство $ S_l(x_0)\geq S_r(x_0)$ ($ S_l(x_0)> S_r(x_0)$) выполнялось при произвольном $x_0>0$? Если одна из функций линейна, то ответ на этот вопрос отрицателен. Несложно доказать и такой родственный результат. Пусть функция f(x) определена и непрерывна при $x\geq 0$, $f(0)=0$, и $f(x)>0$ при $x>0$. И пусть $0<a\leq 1$. Справедливо следующее утверждение: неравенство
$$ \int^{x}_{(1-a)x}f(t)dt \geq \int^{(1+a)x}_{x}f(t)dt $$
не может выполняться при любом $x>0$ (нарушается при сколь угодно малых $x>0$).
Другие вопросы возникли из теории плоских рычажно-шарнирных конструкций. Первый из них, — вопрос существования устойчивой конструкции, собираемой единственным способом, приводит к вопросу о возможности однократной точки внутри образа определённого вида квадратичного отображения степени ноль