Квантовые аналоги теорем Биркгофа-фон Неймана и Синкхорна

Теорема Биркгофа-фон Неймана утверждает, что крайними точками в множестве бистохастических матриц являются матрицы перестановки. В квантовой теории положительное отображение Ф: B(H)->B(H) называют бистохастическим, если оно унитально (Ф[I]=I) и сохраняет след (Ф*[I]=I). Аналогом теоремы Биркгофа-фон Неймана в квантовом случае было бы утверждение, что крайними точками бистохастических отображений являются унитарные преобразования. В 1993 г. Ландау и Стритер доказали, что это действительно так, если dim H = 2, однако для всех размерностей dim H > 2 это утверждение не верно.
Теорема Синкхорна утверждает, что любую матрицу X со строго положительными элементами можно представить в виде X = D1 Y D2, где D1 и D2 - положительно определенные диагональные матрицы, а Y - бистохастическая матрица. Квантовым аналогом теоремы Синкхорна для строго положительного отображения Ф является разложение Ф = Ф1 Y Ф2, где Ф1 и Ф2 - вполне положительные отображения с рангом Крауса 1, а Y - бистохастическое отображение. Это утверждение было доказано в 2004 г. Гурвицем и переоткрыто в 2015 г. Шареком и Обраном.
Будет рассмотрено применение квантовых версий указанных теорем в задачах квантовой теории информации.