Качественная теория параметрических колебаний гамильтоновых систем

В первой части доклада рассматриваются линейные канонические системы с периодическими коэффициентами. Теория устойчивости таких систем, ведущая начало от работ Ляпунова и Пуанкаре, была в дальнейшем существенно развита Крейном, Гельфандом, Лидским и Якубовичем [1]. В работе автора [2] предложен новый подход к построению данной теории, позволивший значительно упростить доказательства основных теорем и установить ряд новых результатов. С их помощью получены нелокальные качественные утверждения об областях устойчивости параметрических колебаний (позволившие, в частности, обосновать существующую практику построения таких областей по их границам). Во второй части доклада рассматриваются нелинейные гамильтоновы системы с параметрическим возбуждением. Предложен нелокальный метод качественного исследования существования и устойчивости семейств параметрических колебаний, рождающихся из положения равновесия. Для сублинейных и суперлинейных систем [3] такие результаты устанавливаются непосредственно по критическим частотам параметрического резонанса линеаризованной системы и гессиану функции Гамильтона. Указаны случаи, когда неустойчость параметрических колебаний не обнаруживается асимптотическими метода-ми нелинейной механики. Обсуждаются также.распространенные заблуждения и ошибки при использовании параметрических моделей для анализа физических систем. 1. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.:Наука, 1972. 718 с. 2. Зевин А.А. . ПММ, 2004, 68, №2, 206-224. 3. Зевин А.А. // Доклады РАН. 2005. Т.405. № 2. С.1-5.