Адельные комплексы на кривых и поверхностях и двойственность Серра

Одно из применений аделей, ассоциированных с кривой – это то, что с их помощью можно считать когомологии когерентных пучков на этой кривой. Естественное желание – придумать аналог адельного комплекса на произвольной схеме. Это было сделано Паршиным для поверхностей и Бейлинсоном в многомерном случае. Мы обсудим их конструкцию, посмотрим внимательней на локальные компоненты многомерных аделей – многомерные локальные поля, докажем, что построенный комплекс действительно считает когомологии пучков на кривых и поверхностях и, возможно, дадим набросок доказательства этого утверждения в общем случае. Затем, определив (одно- и двумерные) вычеты форм и обсудив некоторые их свойства, мы выведем из доказанной теоремы двойственность Серра.