Комплексные числа вращения и пузыри

Доклад посвящён следующей конструкции Арнольда (1978).
Пусть $f$ — аналитический диффеоморфизм окружности $\mathbb R/\mathbb Z$, $a+ih$ — комплексное число, $h>0$. Возьмем цилиндр $\{z \in \mathbb C/\mathbb Z : 0<\mathrm{Im}\, z<h\}$ высоты $h$ и склеим его края по отображению $f+a+ih$. Получим комплексный тор — эллиптическую кривую. Ее модуль называется комплексным числом вращения отображения $f+a+ih$. Например, если $f(x)=x+r$ — поворот, то комплексное число вращения равно $r+a+ih$.
Как комплексное число вращения зависит от $a+ih$? Как оно ведет себя при $h\rightarrow0$?
Ответы на эти вопросы были получены в серии работ Э.Рислера, Ю.С.Ильяшенко, В.Молдавского, Кс.Бюффа и докладчика. Оказалось, что комплексное число вращения голоморфно по $a+ih$ в верхней полуплоскости $h>0$ и непрерывно продолжается на вещественную ось $h=0$. В точках $a$, где число вращения $f+a$ иррационально, предел комплексного числа вращения равен вещественному. Остальные его предельные значения на вещественной оси образуют фрактал «пузыри», тесно связанный с языками Арнольда.
В докладе будет рассказано об этом результате и о других вещах, которые известны нам о геометрии пузырей: размере, форме, самопересечении, самоподобии.