Интерполяция классов Харди от двух переменных и родственные вопросы

Не так давно в совместной работе с И.Злотниковым мы установили так называемую K-замкнутость в шкале $K^p_{\theta}$ коинвариантных подпространств оператора сдвига в окрестности точки $p=\infty$. Доказательство оказалось очень похожим на доказательство аналогичного (и известного давно) утверждения для пространств Харди в бидиске (точнее, на двумерном торе). В связи с этим казалось естественным найти общую формулировку, охватывающую оба случая. Она оказалась такой.
Пусть $A$ и $B$ – w*-замкнутые подалгебры в $L^{\infty}(\mu)$ ($\mu$ – конечная мера), а $X$ и $Y$ – w*-замкнутые подпространства подпространства в $L^{\infty}(\mu)$, являющиеся модулями, соответственно, над $A$ и $B$. Обозначим через $X_p$ и $Y_p$ замыкания этих модулей в пространстве $L^p(\mu)$, $1<p<\infty$. Тогда ПРИ НЕКОТОРЫХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ пара $(X_p\cap Y_p, X\cap Y)$ K-замкнута в паре $(L^p(\mu), L^{\infty}(\mu))$. Эти дополнительные предположения - наличие операторов, связанных с данными алгебрами и подчиненных оценкам, похожим на классические оценки для проектора Рисса. Подчеркнем, что в упомянутых в начале резюме двух конкретных задачах (о классах Харди на двумерном торе и о коинвариантные подпространства на окружности) существенно использовались не только такие оценки, но еще и вид ядра проектора Рисса и разложение Кальдерона–Зигмунда. В общей ситуации эти вещи недоступны, их пришлось заменять другими соображениями.