Восстановление выпуклых тел вероятностными методами

Настоящий доклад является обзором полученных в Ереване основных результатов в томографии ограниченных выпуклых тел. Восстановление ограниченных выпуклых тел $D$ с помощью случайных $k$-мерных плоскостей, пересекающих $D$, - одна из интересных задач стохастической сеометрии. В частности, рассматривается восстановление $D$ с помощью функции распределения длины хорды. Исследование выпуклых тел с помощью функции распределения длины хорды с фиксированным направлением случайных прямых эквивалентно исследованию ковариограммы выпуклого тела $D$. По определению, ковариограмма выпуклого тела $D$ в $n$-мерном евклидовом пространстве есть мера Лебега пересечения $D$ с $D+x$. Г. Матерон сформулировал гипотезу о том, что ковариограмма выпуклого тела определяет его в классе всех выпуклых тел. При $n=2$ гипотеза Матерона верна. В случае $n=3$ вопрос остается открытым. Чтобы найти соответствующий подход для решения задачи в 3-х мерном евклидовом пространстве, нужно понять характер поведения ковариограммы в случае пространственных тел. Явный вид ковариограммы для $n=3$ был известен только в случае шара.