Покрытия многогранников, склеивание клеток Шуберта и компактификация конфигурационных пространств

Доклад представляет собой лекцию по проективной геометрии. При изучении компактификаций введенных Дринфельдом пространств модулей «штук» с уровневой структурой или (по Фалтингсу) локальных модулей многообразий Шимуры, возникает задача о том, как компактифицировать факторы $PGL(r)\times\dots\times PGL(r)/PGL(r)$ эквивариантным образом. Предлагается общий метод такой компактификации. Он также применим в случае конфигурационных пространств матроидов. Все получающиеся таким образом компактифицированные схемы снабжены структурным морфизмом (который является гладким в случаях, когда факторов не более трех или когда ранг равен двум, но не в общем случае) над «торическим пучком», точки которого являются покрытиями некоторого целочисленного многогранника. Имеется индуцированная стратификация, слои которой могут быть описаны в терминах склеивания тонких клеток Шуберта.
Все компактифицированные схемы имеют по крайней мере две модулярные интерпретации:
- как классификация эквивариантных векторных расслоений на некоторых торических многообразиях;
- как классификация определенных проективных рациональных многообразий с логарифмическими особенностями (которые обобщают «минимальные модели проективных пространств», введенные Фалтингсом).