Иррациональные обмотки плоских поверхностей, тейхмюллеров геодезический поток и «машина времени»

Считается, что из всех компактных поверхностей только тор может быть плоским. На самом деле плоская метрика может быть задана на поверхности любого рода, достаточно лишь спрятать лишнюю кривизну в несколько точек с коническими особенностями. Многие динамические системы в размерности 1 и 2 (перекладывания отрезков, биллиарды в многоугольниках, измеримые слоения) эквивалентны прямолинейным потокам на таких плоских поверхностях.
Плоская структура может быть задана голоморфной 1-формой на римановой поверхности; семейства плоских структур отвечают пространствам модулей голоморфных 1-форм. На пространстве плоских поверхностей действует группа SL(2,R). Оказывается, для того чтобы описать динамику прямолинейного потока на индивидуальной плоской поверхности, достаточно найти орбиту соответствующей поверхности под действием группы SL(2,R).
В первой части доклада речь шла о недавних результатах, полученных в этой области, и об открытых проблемах. Во второй части было рассказано о ренормализации для перекладывания отрезков и о том, как с помощью тейхмюллерова геодезического потока построить машину времени. В простейшем частном случае, когда плоская поверхность — обычный плоский тор, роль ренормализации играет алгоритм Евклида, машина времени превращается в разложение числа вращения иррационального потока в цепную дробь, а тейхмюллеров геодезический поток становится геодезическим потоком на верхней полуплоскости в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского.