Расщепление седловых 4-особенностей и их круговых молекул в системах Соколова и Чаплыгина-Горячева-Яхьи

Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему с 2-мя степенями свободы. Она определяется двумя независимыми функциями в инволюции на симплектическом многообразии $M^4$. Отображение момента порождает слоение на прообразе окрестности особого значения ранга нуль, называемое 4-мерной особенностью. Для случая, когда 4-особенность имеет тип седло-седло, Л. М. Лерман и Я. Л. Уманский построили классификацию 4-особенностей сложности один. Используя язык теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, А. В. Болсинов построил круговые молекулы для особенностей типа седло-седло сложности 1, а также в случае сложности 2 получил полный список, состоящий из 39 попарно неэквивалентных особенностей типа седло-седло. Далее В. С. Матвеев построил меченые круговые молекулы (инварианты Фоменко–Цишанга лиувиллевой эквивалентности, соответствующих слоению границы) для всех этих 39 особенностей, а В. В. Корнеев получил их представление в виде почти прямых произведений. На основе списка всех особенностей сложности два, в работе [1] была построена классификация расщеплений 4-особенностей сложности два. Построенные расщепления в [1] особенностей типа седло-седло встречаются в реальных динамических системах. Один из таких примеров, системы Соколова и Чаплыгина-Горячева-Яхьи. Из работы [1], следует, что в системе Соколова все 4-особенности являются расщепляемыми и, как оказалось, существует система Ковалевской-Соколова, которая является расщеплением системы Соколова (см. [2]). В системе Чаплыгина-Горячева-Яхьи независимо от работы [1] был описан метод расщепления атома P4, который также встретился в работе [1] (см. [3]). В данном докладе будут описаны системы Соколова, Ковалевской-Соколова и Чаплыгина-Горячева-Яхьи, будет показано, какие особенности в этих системах являются расщепляемыми, и построены расщепления этих особенностей.

• Ошемков А. А., Тужилин М. А., Интегрируемые возмущения седловых особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. сб. 2018. 209(9). 102—127.
• Kharlamov M. P., Ryabov P. E., Savushkin A. Y., Topological Atlas of the Kowalevski–Sokolov Top, Regul. Chaot. Dyn. 2016. 21, No 1. 24–65.
• Ryabov P. E., Bifurcation Sets in an Integrable Problem on Motion of a Rigid Body in Fluid, Regul. Chaot. Dyn. 1999. 4, No 4. 59–76.