Проблема Зарембы и аддитивная комбинаторика

Проблема Зарембы из теории цепных дробей гласит, что для любого натурального q найдется целое число 0 < a < q, взаимно простое с q, такое, что для разложения в конечную цепную дробь рационального числа a/q = [x_1,....,x_s] выполнено x_j \le 5. До настоящего момента гипотеза остается открытой (исключая некоторые частные случаи), хотя в направлении этой гипотезы различные результаты были получены такими математиками, как Коробов, Нидеррайтер, Бурган, Конторович, Фроленков, Кан и др.
С помощью методов аддитивной комбинаторики (используются результаты о росте в группе SL_2 (\mathbf{F}_p)) мы получаем точную верхнюю оценку на число Зарембовских чисел a, то есть таких a, для которых гипотеза Зарембы справедлива. Кроме того, мы показываем, что из некоторого усиления наших верхних неравенств вытекает и требуемая оценка снизу.