Периодический поток Тоды и пермутоэдрический паркет

Периодический поток Тоды является классическим примером вполне интегрируемой динамической системы. Этот поток действует на пространстве симметричных вещественных (либо эрмитовых) матриц, у которых ненулевые значения допускаются на трех диагоналях и в углах матрицы. Такие матрицы называются периодическими трехдиагональными. Поток Тоды сохраняет спектр.
Раньше считалось, что топология пространства изоспектральных периодических трехдиагональных матриц довольно скучная: пространство расслаивается в одномерное семейство торов Лиувилля-Арнольда, и, как будто, ничего интересного от такого объекта ждать не приходится. Однако, оказалось, что когда периодические трехдиагональные матрицы вырождаются в обычные трехдиагональные матрицы, на изоспектральном пространстве возникает удивительная комбинаторная структура. Эта структура происходит из известного в кристаллографии пермутоэдрического паркета. Эта же самая структура определяет минимальное по числу вершин симплициально-клеточное разбиение тора любой размерности.