Несколько слов о математике и её приложениях

В этой, надеюсь, общедоступной лекции я постараюсь объяснить, что мы понимаем под математикой и, на примере теоретической физики, как выглядят её приложения. Что делает математику необходимым инструментом при изучении природы, в информатике, экономике, инженерном деле и т.д.? Почему "хорошо поставленные" задачи, за редким исключением, в конце концов удаётся решить? К сожалению, я не могу ответить на эти вопросы (и не нашёл удовлетворительного ответа в литературе).