Полиномиальные формы операторов Шредингера

Как обычно, назовем оператор Шредингера H с n независимыми переменными и с потенциалом U интегрируемым, если он допускает достаточно много коммутирующих с ним дифференциальных операторов. Хорошо известен класс интегрируемых операторов Шредингера, потенциалы которых связаны с простыми алгебрами Ли (Калоджеро, Сазерленд, Ольшанецкий-Переломов и др.). При этом для каждой алгебры Ли потенциалы бывают рациональными, тригонометрическими и эллиптическими.
Имеется гипотеза (А. Турбинер) о том, что всякий такой интегрируемый оператор H заменой переменных и последующим сопряжением функцией сводится к оператору Q с полиномиальными коэффициентами. При этом: a) $L_2$-спектр оператора H совпадает со спектром оператора Q, действующего на пространстве многочленов, b) существует нетривиальное конечно-мерное пространство многочленов, инвариантное относительно Q. Таким образом конечная часть спектра оператора H находится средствами линейной алгебры. Полиномиальная форма оператора обладает рядом и других преимуществ, связанных с тем, что алгебра Вейля дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами хорошо изучена. В частности, если полиномиальным форма найдена, то автоматически находятся ее интегрируемые дискретизация и q-дискретизация.
Полиномиальные формы для рационального и тригонометрического случаев были найдены А. Турбинером и соавторами. Недавно В. Соколовым и А. Турбинером была найдена полиномиальная форма оператора с A_2-эллиптическим потенциалом. При этом основным шагом являлось нахождение полиномиальной плоской деформации метрики, соответствующей тригонометрическому случаю.
Нахождение замены, приводящей оператор к полиномиальной форме, в каждом конкретном случае является сложной неформализуемой задачей. Оказывается, что перечисленных ниже свойств полиномиальной формы достаточно, чтобы описать класс операторов с полиномиальными коэффициентами, которые следует изучать.
Во-первых, контравариантная метрика g, соответствующая главному символу полиномиальной формы Q является плоской. Во-вторых оператор подобен самосопряженному. Дополнительно к этим свойствам предполагается, что оператор Q обладает нетривиальным конечномерным инвариантным подпространством полиномов V. В наиболее интересном случае V – это множество всех полиномов степени le k, где k - некоторое фиксированное натуральное число.
В размерностях 1 и 2 задача классификации таких полиномиальных операторов мной частично решена. В результате найдены полиномиальные формы для всех одномерных и двумерных операторов Шредингера с эллиптическими потенциалами, которые связаны с простыми алгебрами Ли. Кроме того, в принципе, в результате этой деятельности могут возникнуть и более общие новые интегрируемые операторы Шредингера. Одной из основных задач является нахождение полиномиальной формы для A_n эллиптической модели Калоджеро-Мозера в случае произвольного n. В настоящий момент имеется правдоподобная гипотеза о том, как выглядит соответствующая замена переменных.