Инвариантные меры гладких динамических систем, обобщенные функции и методы суммирования

Обсуждаются условия существования инвариантных мер гладких динамических систем на компактных многообразиях. Если существует инвариантная мера с непрерывно дифференцируемой плотностью, то на каждом решении дивергенция векторного поля сходится к нулю по Чезаро при неограниченном возрастании времени. Сходимость по Чезаро здесь можно заменить любым методом суммирования Рисса, который сколь угодно мало отличается от обычной сходимости. Приведен пример системы, у которой дивергенция стремится к нулю в обычном смысле, но которая, не допускает инвариантной меры, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега, порождаемой какой-нибудь римановой метрикой. Приведен пример аналитической системы дифференциальных уравнений на аналитическом фазовом пространстве, которая допускает инвариантные меры любой наперед заданной степени гладкости, но не допускает инвариантной меры с большей степенью гладкости.